Hình thang cân

Chào bạn! Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về một chủ đề thú vị trong môn Toán học: Hình thang cân. Hãy cùng tìm hiểu và giải quyết bài toán thú vị nhé!

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 11: Hình thang cân

Bài toán: Tính các góc của hình thang ABCD (AB, CD là hai đáy) biết A^=2D^, B^=C^+40°.

Lời giải:
Trong hình thang ABCD có:

Do đó A^+D^=180°, B^+C^=180°.

Mà A^=2D^ nên 2D^+D^=180°, suy ra D^=60°. Do đó A^=2D^=2⋅60°=120°.

B^=C^+40° nên C^+40°+C^=180°, hay 2C^=140°, suy ra C^=70°.

Do đó B^=C^+40°=70°+40°=110°.

Vậy hình thang ABCD có A^=120°, B^=110°, C^=70°, D^=60°.

Chứng minh hình thang cân

Bài toán: Chứng minh rằng trong hình thang có nhiều nhất hai góc tù.

Lời giải:
Xét hình thang ABCD có AB // CD.

Ta có:

Do đó, trong bốn góc A^, B^, C^, D^ có không nhiều hơn 2 góc là góc tù.

Chứng minh hình thang vuông

Bài toán: Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Ghép thêm vào phía ngoài tam giác đó tam giác BCD vuông cân tại đỉnh B. Chứng minh tứ giác ABDC là một hình thang vuông (hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy).

Lời giải:
Do ∆ABC vuông cân tại đỉnh A nên ABC^=ACB^; A^=90°.

Xét trong ∆ABC ta có: ABC^+ACB^+A^=180°.

Nên ABC^=ACB^=180°−A^2=180°−90°2=45°.

Do ∆BCD vuông cân tại đỉnh B nên BCD^=BDC^; CBD^=90°.

Xét trong ∆BCD ta có: BCD^+BDC^+CBD^=180°.

Nên BCD^=BDC^=180°−CBD^2=180°−90°2=45°.

Ta có ABC^=45°=BCD^ nên AB // CD (hai góc so le trong bằng nhau).

Vậy ABCD là một hình thang với AB, CD là hai đáy; cạnh bên của hình thang đó là AC vuông góc với đáy AB nên hình thang đó là hình thang vuông.

Chứng minh đường thẳng SO

Bài toán: Cho hình thang cân ABCD với hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại S. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, đi qua trung điểm của CD.

Lời giải:
Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC, AC = BD, ADC^=BCD^.

Xét ∆ABC và ∆BAD có
BC = AD, AC = BD, cạnh AB chung

Do đó ∆ABC = ∆BAD (c.c.c)

Suy ra BAC^=ABD^.

Từ đó OAB là tam giác cân tại O, nên OA = OB.

Ta có: OA + OC = AC; OB + OD = BD, mà OA = OB, AC = BD

Suy ra OC = OD.

Do đó O cách đều A và B; O cách đều C và D;

Do AB // CD nên SAB^=SDC^;SBA^=SCD^ (các cặp góc ở vị trí đồng vị)

Mà ADC^=BCD^ hay SDC^=SCD^ suy ra SAB^=SDC^=SBA^=SCD^

Suy ra SAB, SCD là các tam giác cân tại đỉnh S nên SA = SB, SC = SD

Do đó S cũng cách đều A và B, cách đều C và D.

Vậy S và O cùng nằm trên đường trung trực của AB, của CD nên đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, CD.

Tính chu vi của hình thang

Bài toán: Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB và CD, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên AD, tia CA là tia phân giác của góc C. Tính chu vi của hình thang đó biết rằng AD = 2 cm.

Lời giải:
Do CA là tia phân giác của C^ nên BCA^=ACD^

Mà ABCD là hình thang cân nên AB // CD, suy ra BCA^=ACD^ (hai góc so le trong)

Do đó, BAC^=BCA^, suy ra ∆ABC cân tại B.

Đặt BAC^=α thì C^=2α.

Vì ABCD là hình thang cân nên D^=C^=2α.

Tam giác ADC vuông tại A nên ADC^+ACD^=2α+α=90°, suy ra α=30°, D^=60°.

Lấy điểm M thuộc cạnh huyền DC sao cho DM = AD, mà D^=60° thì AMD là tam giác đều, nên MAD^=60°

Khi đó MAC^=CAD^−MAD^=90°−60°=30°

Suy ra ACM^=CAM^=30° nên tam giác MAC cân tại M

Do đó AM = MC, mà AM = DM = AD

Nên AM = DM = AD = MC hay DC = 2AD.

Vậy AB = BC = AD, CD = 2AD nên chu vi hình thang bằng AB + BC + CD + AD = 5AD = 5.2 = 10 cm.

Đó là cách giải bài toán về hình thang cân! Hy vọng bạn đã hiểu và thấy thú vị! Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về các bài toán khác trong môn Toán học, hãy truy cập vào trang Bí Kíp Điểm 10. Chúc bạn thành công!

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 11: Hình thang cân - Bí Kíp Điểm 10

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 11: Hình thang cân

Hình thang cân

Chào bạn! Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về một chủ đề thú vị trong môn Toán học: Hình thang cân. Hãy cùng tìm hiểu và giải quyết bài toán thú vị nhé!

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 11: Hình thang cân

Bài toán: Tính các góc của hình thang ABCD (AB, CD là hai đáy) biết A^=2D^, B^=C^+40°.

Lời giải:
Trong hình thang ABCD có:

  • A^ và D^ là 2 góc bù nhau.
  • B^ và C^ là 2 góc bù nhau.

Do đó A^+D^=180°, B^+C^=180°.

Mà A^=2D^ nên 2D^+D^=180°, suy ra D^=60°. Do đó A^=2D^=2⋅60°=120°.

B^=C^+40° nên C^+40°+C^=180°, hay 2C^=140°, suy ra C^=70°.

Do đó B^=C^+40°=70°+40°=110°.

Vậy hình thang ABCD có A^=120°, B^=110°, C^=70°, D^=60°.

Chứng minh hình thang cân

Bài toán: Chứng minh rằng trong hình thang có nhiều nhất hai góc tù.

Lời giải:
Xét hình thang ABCD có AB // CD.

Ta có:

  • A^ và D^ là hai góc kề với cạnh bên AD. Suy ra A^+D^=180° nên trong hai góc đó có không quá 1 góc tù.
  • B^ và C^ là hai góc kề với cạnh bên BC. Suy ra B^+C^=180° nên trong hai góc đó có không quá 1 góc tù.

Do đó, trong bốn góc A^, B^, C^, D^ có không nhiều hơn 2 góc là góc tù.

Chứng minh hình thang vuông

Bài toán: Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Ghép thêm vào phía ngoài tam giác đó tam giác BCD vuông cân tại đỉnh B. Chứng minh tứ giác ABDC là một hình thang vuông (hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy).

Lời giải:
Do ∆ABC vuông cân tại đỉnh A nên ABC^=ACB^; A^=90°.

Xét trong ∆ABC ta có: ABC^+ACB^+A^=180°.

Nên ABC^=ACB^=180°−A^2=180°−90°2=45°.

Do ∆BCD vuông cân tại đỉnh B nên BCD^=BDC^; CBD^=90°.

Xét trong ∆BCD ta có: BCD^+BDC^+CBD^=180°.

Nên BCD^=BDC^=180°−CBD^2=180°−90°2=45°.

Ta có ABC^=45°=BCD^ nên AB // CD (hai góc so le trong bằng nhau).

Vậy ABCD là một hình thang với AB, CD là hai đáy; cạnh bên của hình thang đó là AC vuông góc với đáy AB nên hình thang đó là hình thang vuông.

Chứng minh đường thẳng SO

Bài toán: Cho hình thang cân ABCD với hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại S. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, đi qua trung điểm của CD.

Lời giải:
Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC, AC = BD, ADC^=BCD^.

Xét ∆ABC và ∆BAD có
BC = AD, AC = BD, cạnh AB chung

Do đó ∆ABC = ∆BAD (c.c.c)

Suy ra BAC^=ABD^.

Từ đó OAB là tam giác cân tại O, nên OA = OB.

Ta có: OA + OC = AC; OB + OD = BD, mà OA = OB, AC = BD

Suy ra OC = OD.

Do đó O cách đều A và B; O cách đều C và D;

Do AB // CD nên SAB^=SDC^;SBA^=SCD^ (các cặp góc ở vị trí đồng vị)

Mà ADC^=BCD^ hay SDC^=SCD^ suy ra SAB^=SDC^=SBA^=SCD^

Suy ra SAB, SCD là các tam giác cân tại đỉnh S nên SA = SB, SC = SD

Do đó S cũng cách đều A và B, cách đều C và D.

Vậy S và O cùng nằm trên đường trung trực của AB, của CD nên đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, CD.

Tính chu vi của hình thang

Bài toán: Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB và CD, đường chéo AC vuông góc với cạnh bên AD, tia CA là tia phân giác của góc C. Tính chu vi của hình thang đó biết rằng AD = 2 cm.

Lời giải:
Do CA là tia phân giác của C^ nên BCA^=ACD^

Mà ABCD là hình thang cân nên AB // CD, suy ra BCA^=ACD^ (hai góc so le trong)

Do đó, BAC^=BCA^, suy ra ∆ABC cân tại B.

Đặt BAC^=α thì C^=2α.

Vì ABCD là hình thang cân nên D^=C^=2α.

Tam giác ADC vuông tại A nên ADC^+ACD^=2α+α=90°, suy ra α=30°, D^=60°.

Lấy điểm M thuộc cạnh huyền DC sao cho DM = AD, mà D^=60° thì AMD là tam giác đều, nên MAD^=60°

Khi đó MAC^=CAD^−MAD^=90°−60°=30°

Suy ra ACM^=CAM^=30° nên tam giác MAC cân tại M

Do đó AM = MC, mà AM = DM = AD

Nên AM = DM = AD = MC hay DC = 2AD.

Vậy AB = BC = AD, CD = 2AD nên chu vi hình thang bằng AB + BC + CD + AD = 5AD = 5.2 = 10 cm.

Đó là cách giải bài toán về hình thang cân! Hy vọng bạn đã hiểu và thấy thú vị! Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về các bài toán khác trong môn Toán học, hãy truy cập vào trang Bí Kíp Điểm 10. Chúc bạn thành công!