Chào mừng các bạn đến với Bí Kíp Điểm 10! Hôm nay chúng ta sẽ cùng giải bài toán về Ước tính xác suất.

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Trong bài toán số 48 trang 29 Sách bài tập (SBT) Toán 11 Tập 1, chúng ta được yêu cầu giải phương trình sin x = 1. Các nghiệm của phương trình này là:

A. x=π/2+k2π (k∈ℤ).
B. x=π/2+kπ (k∈ℤ).
C. x=π+k2π (k∈ℤ).
D. x=k2π (k∈ℤ).

Lời giải đúng là đáp án A. Ta có: sin x = 1 ⇔ x=π/2+k2π (k∈ℤ).

Trong bài toán số 49 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1, chúng ta cần tìm số nghiệm của phương trình sin x = 0,3 trên khoảng (0; 4π). Các lựa chọn đáp án là:

A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 6.

Lời giải đúng là đáp án C. Ta xét đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 0,3. Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 0,3 cắt nhau tại 4 điểm phân biệt trên khoảng (0; 4π). Vậy số nghiệm của phương trình sin x = 0,3 trên khoảng (0; 4π) là 4.

Phương trình lượng giác cơ bản

Trong toán học, phương trình lượng giác cơ bản là các phương trình mà biến số là các hàm số lượng giác như sin, cos, tan, cot, v.v.

Dưới đây là một số ví dụ về phương trình lượng giác cơ bản và lời giải của chúng:

Phương trình cos x = −1

Phương trình này có các nghiệm là:
A. x=π/4+k2π (k∈ℤ).
B. x=−π/4+kπ (k∈ℤ).
C. x=π/2+k2π (k∈ℤ).
D. x=−π/4+k2π (k∈ℤ).

Lời giải đúng là đáp án B. Ta có cos x = −1 ⇔ x=−π/4+kπ (k∈ℤ).

Phương trình cot x = 0

Phương trình này có các nghiệm là:
A. x=π/4+kπ (k∈ℤ).
B. x=π/2+k2π (k∈ℤ).
C. x=kπ (k∈ℤ).
D. x=π/2+kπ (k∈ℤ).

Lời giải đúng là đáp án D. Ta có cot x = 0 ⇔ x=π/2+kπ (k∈ℤ).

Phương trình sin x – cos x = 0

Phương trình này có các nghiệm là:
A. x=π/4+kπ (k∈ℤ).
B. x=−π/4+kπ (k∈ℤ).
C. x=π/4+k2π (k∈ℤ).
D. x=−π/4+k2π (k∈ℤ).

Lời giải đúng là đáp án A. Ta có sin x – cos x = 0 ⇔ sin x = cos x (). Vì sin x và cos x không thể đồng thời bằng 0 do sin^2 x + cos^2 x = 1, nên () tương đương với tan x = 1, tức là x = π/4+kπ (k∈ℤ).

Phương trình 3cos x + 3sin x = 0

Phương trình này có các nghiệm là:
A. x=−π/6+kπ (k∈ℤ).
B. x=π/3+kπ (k∈ℤ).
C. x=−π/3+kπ (k∈ℤ).
D. x=π/6+kπ (k∈ℤ).

Lời giải đúng là đáp án A. Ta có 3cos x + 3sin x = 0 ⇔ cos x + 3sin x = 0 ⇔ 1/2 cos x + 3/2 sin x = 0 ⇔ cos(π/3) cos x + sin(π/3) sin x = 0 ⇔ cos(π/3 – x) = 0 ⇔ π/3 – x = π/2 + kπ (k∈ℤ) ⇔ x = −π/6 + kπ (k∈ℤ).

Phương trình cos 2x = cos (3x + 10°)

Phương trình này có các nghiệm là:
A. x = π/20 + kπ (k∈ℤ).
B. x = π/5 + kπ (k∈ℤ).
C. x = 5π/12 + kπ (k∈ℤ).
D. x = 5π/6 + kπ (k∈ℤ).

Lời giải đúng là đáp án B. Ta có cos 2x = cos (3x + 10°) ⇔ cos 2x = cos (3x + 10° + 360°) ⇔ cos 2x = cos (3x + 370°) ⇔ 2x = 3x + 370° + 360°k (k∈ℤ) ⇔ x = π/5 + kπ (k∈ℤ).

Phương trình sin 3x = cos x

Phương trình này có các nghiệm là:
A. x = π/12 + kπ (k∈ℤ).
B. x = 5π/12 + kπ (k∈ℤ).
C. x = 9π/12 + kπ (k∈ℤ).
D. x = 13π/12 + kπ (k∈ℤ).

Lời giải đúng là đáp án A. Ta có sin 3x = cos x ⇔ sin 3x = sin (π/2 – x) ⇔ 3x = π/2 – x + 2πk (k∈ℤ) ⇔ x = π/12 + kπ (k∈ℤ).

Giải phương trình

Trong bài toán số 58 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1, chúng ta cần giải một loạt các phương trình lượng giác. Dưới đây là lời giải của từng phương trình:

a) sin3x = 32:
Lời giải: Do sin(π/3) = 3/2 nên sin3x = 3/2 ⇔ sin3x = sin(π/3). Ta có 3x = π/3 + 2πk (k∈ℤ), suy ra x = π/9 + 2π/3k (k∈ℤ).

b) sinx^2 + π/4 = −2/2:
Lời giải: Do sin(-π/4) = -2/2 nên sinx^2 + π/4 = -2/2 ⇔ sinx^2 + π/4 = sin(-π/4). Ta có x^2 = -π/4 + 2πk (k∈ℤ), tức là x = ±√(-π/4 + 2πk (k∈ℤ)).

c) cos3x + π/3 = −1/2:
Lời giải: Do cos(π/3) = 1/2 nên cos3x + π/3 = 1/2 ⇔ cos3x + π/3 = cos(π/3). Ta có 3x = π/3 + 2πk (k∈ℤ), suy ra x = π/9 + 2π/3k (k∈ℤ).

d) 2cosx + 3 = 0:
Lời giải: Ta có cosx = -3/2. Vì cosx không thể nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng -1, nên không tồn tại nghiệm cho phương trình này.

e) 3tanx − 1 = 0:
Lời giải: Ta có tanx = 1/3. Vậy x = arctan(1/3) + kπ (k∈ℤ).

g) cotx + π/5 = 1:
Lời giải: Ta có cot(π/4) = 1 nên cotx + π/5 = 1 ⇔ cotx + π/5 = cot(π/4). Ta có x + π/5 = π/4 + kπ (k∈ℤ), suy ra x = π/20 + kπ (k∈ℤ).

Trong bài toán số 59 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1, chúng ta cần tìm góc lượng giác x sao cho các phương trình sau đây thành sự đẳng thức:

a) sin 2x = sin 42°:
Lời giải: Ta có sin 2x = sin 42° ⇔ 2x = 42° + 360°k (k∈ℤ) ⇔ x = 21° + 180°k (k∈ℤ).

b) sin(x – 60°) = −3/2:
Lời giải: Ta có sin(x – 60°) = -3/2 ⇔ x – 60° = arcsin(-3/2) + k360° (k∈ℤ).

c) cos(x + 50°) = 1/2:
Lời giải: Ta có cos(x + 50°) = 1/2 ⇔ x + 50° = arccos(1/2) + k360° (k∈ℤ).

d) cos 2x = cos (3x + 10°):
Lời giải: Ta có cos 2x = cos (3x + 10°) ⇔ 2x = 3x + 10° + 360°k (k∈ℤ) ⇔ x = -10° + 360°k (k∈ℤ).

e) tan x = tan 25°:
Lời giải: Ta có tan x = tan 25° ⇔ x = 25° + 180°k (k∈ℤ).

f) cot x = cot (- 32°):
Lời giải: Ta có cot x = cot (- 32°) ⇔ x = -32° + 180°k (k∈ℤ).

Tìm số nghiệm của phương trình

Trong bài toán số 61 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1, chúng ta sẽ sử dụng đồ thị hàm số để xác định số nghiệm của các phương trình:

a) 5sin x – 3 = 0 trên đoạn [- π; 4π]:
Lời giải: Ta xem đồ thị của hàm số y = sin x và đường thẳng y = 3/5 trên đoạn [- π; 4π]. Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 3/5 cắt nhau tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình 5sin x – 3 = 0 có 4 nghiệm trên đoạn [- π; 4π].

b) 2cos x + 1 = 0 trên khoảng (- 4π; 0):
Lời giải: Ta xem đồ thị của hàm số y = cos x và đường thẳng y = -1/2 trên khoảng (- 4π; 0). Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x và đường thẳng y = -1/2 cắt nhau tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình 2cos x + 1 = 0 có 4 nghiệm trên khoảng (- 4π; 0).

Mực nước cao nhất tại một cảng biển

Trong bài toán số 62 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1, chúng ta được yêu cầu tìm các tham số m và a trong công thức h=m+acosπ/12t để mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ.

a) Tìm m, a:
Lời giải: Ta biết mực nước cao nhất là 16 m và mực nước thấp nhất là 10 m sau 12 giờ. Vì vậy, ta có h = m + a cos(π/12 t). Áp dụng vào điều kiện ban đầu, ta có các phương trình sau đây:

h(0) = m + a cos(π/12 0) = 10
h(12) = m + a cos(π/12
12) = 16

Giải hệ phương trình này, ta được m = 13 và a = 3.

b) Tìm thời điểm khi chiều cao của mực nước là 11,5 m:
Lời giải: Áp dụng vào công thức h = 13 + 3 cos(π/12t), ta có 13 + 3 cos(π/12t) = 11,5. Giải phương trình này, ta tìm được 2 thời điểm là t = 8 và t = 16 khi chiều cao của mực nước đạt 11,5 m.

Đây là một số ví dụ về giải phương trình lượng giác cơ bản trong Sách bài tập (SBT) Toán 11 Tập 1. Hy vọng các bạn đã hiểu và áp dụng những kiến thức này vào việc giải quyết các bài toán lượng giác thực tế. Chúc các bạn thành công trong học tập và ôn thi!

Giải SBT Toán 11 Bài 4 (Cánh diều): Phương trình lượng giác cơ bản - Bí Kíp Điểm 10

Giải SBT Toán 11 Bài 4 (Cánh diều): Phương trình lượng giác cơ bản

Chào mừng các bạn đến với Bí Kíp Điểm 10! Hôm nay chúng ta sẽ cùng giải bài toán về Ước tính xác suất.

Giải SBT Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Trong bài toán số 48 trang 29 Sách bài tập (SBT) Toán 11 Tập 1, chúng ta được yêu cầu giải phương trình sin x = 1. Các nghiệm của phương trình này là:

A. x=π/2+k2π (k∈ℤ).
B. x=π/2+kπ (k∈ℤ).
C. x=π+k2π (k∈ℤ).
D. x=k2π (k∈ℤ).

Lời giải đúng là đáp án A. Ta có: sin x = 1 ⇔ x=π/2+k2π (k∈ℤ).

Trong bài toán số 49 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1, chúng ta cần tìm số nghiệm của phương trình sin x = 0,3 trên khoảng (0; 4π). Các lựa chọn đáp án là:

A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 6.

Lời giải đúng là đáp án C. Ta xét đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 0,3. Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 0,3 cắt nhau tại 4 điểm phân biệt trên khoảng (0; 4π). Vậy số nghiệm của phương trình sin x = 0,3 trên khoảng (0; 4π) là 4.

Phương trình lượng giác cơ bản

Trong toán học, phương trình lượng giác cơ bản là các phương trình mà biến số là các hàm số lượng giác như sin, cos, tan, cot, v.v.

Dưới đây là một số ví dụ về phương trình lượng giác cơ bản và lời giải của chúng:

Phương trình cos x = −1

Phương trình này có các nghiệm là:
A. x=π/4+k2π (k∈ℤ).
B. x=−π/4+kπ (k∈ℤ).
C. x=π/2+k2π (k∈ℤ).
D. x=−π/4+k2π (k∈ℤ).

Lời giải đúng là đáp án B. Ta có cos x = −1 ⇔ x=−π/4+kπ (k∈ℤ).

Phương trình cot x = 0

Phương trình này có các nghiệm là:
A. x=π/4+kπ (k∈ℤ).
B. x=π/2+k2π (k∈ℤ).
C. x=kπ (k∈ℤ).
D. x=π/2+kπ (k∈ℤ).

Lời giải đúng là đáp án D. Ta có cot x = 0 ⇔ x=π/2+kπ (k∈ℤ).

Phương trình sin x – cos x = 0

Phương trình này có các nghiệm là:
A. x=π/4+kπ (k∈ℤ).
B. x=−π/4+kπ (k∈ℤ).
C. x=π/4+k2π (k∈ℤ).
D. x=−π/4+k2π (k∈ℤ).

Lời giải đúng là đáp án A. Ta có sin x – cos x = 0 ⇔ sin x = cos x (). Vì sin x và cos x không thể đồng thời bằng 0 do sin^2 x + cos^2 x = 1, nên () tương đương với tan x = 1, tức là x = π/4+kπ (k∈ℤ).

Phương trình 3cos x + 3sin x = 0

Phương trình này có các nghiệm là:
A. x=−π/6+kπ (k∈ℤ).
B. x=π/3+kπ (k∈ℤ).
C. x=−π/3+kπ (k∈ℤ).
D. x=π/6+kπ (k∈ℤ).

Lời giải đúng là đáp án A. Ta có 3cos x + 3sin x = 0 ⇔ cos x + 3sin x = 0 ⇔ 1/2 cos x + 3/2 sin x = 0 ⇔ cos(π/3) cos x + sin(π/3) sin x = 0 ⇔ cos(π/3 – x) = 0 ⇔ π/3 – x = π/2 + kπ (k∈ℤ) ⇔ x = −π/6 + kπ (k∈ℤ).

Phương trình cos 2x = cos (3x + 10°)

Phương trình này có các nghiệm là:
A. x = π/20 + kπ (k∈ℤ).
B. x = π/5 + kπ (k∈ℤ).
C. x = 5π/12 + kπ (k∈ℤ).
D. x = 5π/6 + kπ (k∈ℤ).

Lời giải đúng là đáp án B. Ta có cos 2x = cos (3x + 10°) ⇔ cos 2x = cos (3x + 10° + 360°) ⇔ cos 2x = cos (3x + 370°) ⇔ 2x = 3x + 370° + 360°k (k∈ℤ) ⇔ x = π/5 + kπ (k∈ℤ).

Phương trình sin 3x = cos x

Phương trình này có các nghiệm là:
A. x = π/12 + kπ (k∈ℤ).
B. x = 5π/12 + kπ (k∈ℤ).
C. x = 9π/12 + kπ (k∈ℤ).
D. x = 13π/12 + kπ (k∈ℤ).

Lời giải đúng là đáp án A. Ta có sin 3x = cos x ⇔ sin 3x = sin (π/2 – x) ⇔ 3x = π/2 – x + 2πk (k∈ℤ) ⇔ x = π/12 + kπ (k∈ℤ).

Giải phương trình

Trong bài toán số 58 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1, chúng ta cần giải một loạt các phương trình lượng giác. Dưới đây là lời giải của từng phương trình:

a) sin3x = 32:
Lời giải: Do sin(π/3) = 3/2 nên sin3x = 3/2 ⇔ sin3x = sin(π/3). Ta có 3x = π/3 + 2πk (k∈ℤ), suy ra x = π/9 + 2π/3k (k∈ℤ).

b) sinx^2 + π/4 = −2/2:
Lời giải: Do sin(-π/4) = -2/2 nên sinx^2 + π/4 = -2/2 ⇔ sinx^2 + π/4 = sin(-π/4). Ta có x^2 = -π/4 + 2πk (k∈ℤ), tức là x = ±√(-π/4 + 2πk (k∈ℤ)).

c) cos3x + π/3 = −1/2:
Lời giải: Do cos(π/3) = 1/2 nên cos3x + π/3 = 1/2 ⇔ cos3x + π/3 = cos(π/3). Ta có 3x = π/3 + 2πk (k∈ℤ), suy ra x = π/9 + 2π/3k (k∈ℤ).

d) 2cosx + 3 = 0:
Lời giải: Ta có cosx = -3/2. Vì cosx không thể nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng -1, nên không tồn tại nghiệm cho phương trình này.

e) 3tanx − 1 = 0:
Lời giải: Ta có tanx = 1/3. Vậy x = arctan(1/3) + kπ (k∈ℤ).

g) cotx + π/5 = 1:
Lời giải: Ta có cot(π/4) = 1 nên cotx + π/5 = 1 ⇔ cotx + π/5 = cot(π/4). Ta có x + π/5 = π/4 + kπ (k∈ℤ), suy ra x = π/20 + kπ (k∈ℤ).

Trong bài toán số 59 trang 30 SBT Toán 11 Tập 1, chúng ta cần tìm góc lượng giác x sao cho các phương trình sau đây thành sự đẳng thức:

a) sin 2x = sin 42°:
Lời giải: Ta có sin 2x = sin 42° ⇔ 2x = 42° + 360°k (k∈ℤ) ⇔ x = 21° + 180°k (k∈ℤ).

b) sin(x – 60°) = −3/2:
Lời giải: Ta có sin(x – 60°) = -3/2 ⇔ x – 60° = arcsin(-3/2) + k360° (k∈ℤ).

c) cos(x + 50°) = 1/2:
Lời giải: Ta có cos(x + 50°) = 1/2 ⇔ x + 50° = arccos(1/2) + k360° (k∈ℤ).

d) cos 2x = cos (3x + 10°):
Lời giải: Ta có cos 2x = cos (3x + 10°) ⇔ 2x = 3x + 10° + 360°k (k∈ℤ) ⇔ x = -10° + 360°k (k∈ℤ).

e) tan x = tan 25°:
Lời giải: Ta có tan x = tan 25° ⇔ x = 25° + 180°k (k∈ℤ).

f) cot x = cot (- 32°):
Lời giải: Ta có cot x = cot (- 32°) ⇔ x = -32° + 180°k (k∈ℤ).

Tìm số nghiệm của phương trình

Trong bài toán số 61 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1, chúng ta sẽ sử dụng đồ thị hàm số để xác định số nghiệm của các phương trình:

a) 5sin x – 3 = 0 trên đoạn [- π; 4π]:
Lời giải: Ta xem đồ thị của hàm số y = sin x và đường thẳng y = 3/5 trên đoạn [- π; 4π]. Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = 3/5 cắt nhau tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình 5sin x – 3 = 0 có 4 nghiệm trên đoạn [- π; 4π].

b) 2cos x + 1 = 0 trên khoảng (- 4π; 0):
Lời giải: Ta xem đồ thị của hàm số y = cos x và đường thẳng y = -1/2 trên khoảng (- 4π; 0). Dựa vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = cos x và đường thẳng y = -1/2 cắt nhau tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình 2cos x + 1 = 0 có 4 nghiệm trên khoảng (- 4π; 0).

Mực nước cao nhất tại một cảng biển

Trong bài toán số 62 trang 31 SBT Toán 11 Tập 1, chúng ta được yêu cầu tìm các tham số m và a trong công thức h=m+acosπ/12t để mô tả sự thay đổi chiều cao của mực nước tại cảng trong vòng 24 giờ.

a) Tìm m, a:
Lời giải: Ta biết mực nước cao nhất là 16 m và mực nước thấp nhất là 10 m sau 12 giờ. Vì vậy, ta có h = m + a cos(π/12 t). Áp dụng vào điều kiện ban đầu, ta có các phương trình sau đây:

h(0) = m + a cos(π/12 0) = 10
h(12) = m + a cos(π/12
12) = 16

Giải hệ phương trình này, ta được m = 13 và a = 3.

b) Tìm thời điểm khi chiều cao của mực nước là 11,5 m:
Lời giải: Áp dụng vào công thức h = 13 + 3 cos(π/12t), ta có 13 + 3 cos(π/12t) = 11,5. Giải phương trình này, ta tìm được 2 thời điểm là t = 8 và t = 16 khi chiều cao của mực nước đạt 11,5 m.

Đây là một số ví dụ về giải phương trình lượng giác cơ bản trong Sách bài tập (SBT) Toán 11 Tập 1. Hy vọng các bạn đã hiểu và áp dụng những kiến thức này vào việc giải quyết các bài toán lượng giác thực tế. Chúc các bạn thành công trong học tập và ôn thi!