Những bài tập liên quan đến Dạng lượng giác của số phức là một phần quan trọng trong đề thi Đại học. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về Dạng lượng giác của số phức và làm các bài tập dưới đây để nắm vững kiến thức này.

Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác

1. Phương pháp giải

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức z = 6 + 6i dưới dạng lượng giác?

A. z = 6√2(cosπ/4 + i.sinπ/4)
B. z = 6(cosπ/4 + i.sinπ/4)
C. z = 3√2(cosπ/4 + i.sinπ/4)
D. z = 3√2(cosπ/4 + i.sinπ/4)

Lời giải:
Ta có: |z| = r = √(6^2 + 6^2) = 6√2
Chọn φ là số thực thoả mãn ⇒ φ = π/4
Do đó, dạng lượng giác của số phức z là: z = 6√2(cosπ/4 + i.sinπ/4)
Chọn A.

Ví dụ 2: Viết số 10 dưới dạng lượng giác?

A. 10.(cosπ + i.sinπ)
B. 10.(cos0 + i.sin0)
C. 10√2(cosπ + i.sinπ)
D. 10√2(cos0 + i.sin0)

Lời giải:
Ta có: Số 10 có mô đun là 10 và có một acgumen bằng 0 nên nó có dạng lượng giác là:
10.(cos0 + i.sin0).
Chọn B.

Ví dụ 3: Viết số -1 dưới dạng lượng giác.

A. -1.(cos0 + i.sin0)
B. (cos-2π + i.sin-2π)
C. (cosπ + i.sinπ)
D. -1.(cosπ/2 + i.sinπ/2)

Lời giải:
Số -1 có mô đun là 1, có một acgumen là π nên số đó có dạng lượng giác là:
-1 = (cosπ + i.sinπ)
Chọn C.

Ví dụ 4: Viết số phức z = 3i dưới dạng lượng giác?

A. [cos(-π/2) + i.sin(-π/2)]
B. [cos(-π/2) + i.sin(-π/2)]
C. [cos(π/2) + i.sin(π/2)]
D. [cos(π/2) + i.sin(π/2)]

Lời giải:
Ta có: z = 3i = 3(cosπ/2 + i.sinπ/2).
Chọn C.

Ví dụ 5: Viết số phức z = -100 dưới dạng lượng giác?

A. z = -100√2(cosπ + i.sinπ)
B. z = -100.(cos0 + i.sin0)
C. z = -100√2(cosπ + i.sinπ)
D. z = -100.(cosπ + i.sinπ)

Lời giải:
Ta có: |z| = 100
Gọi φ là một acgumen của z thì φ thỏa mãn: cosφ = -1; sinφ = 0 ⇒ φ = π.
Do đó, dạng lượng giác của số phức z là:
z = -100(cosπ + i.sinπ)
Chọn D.

Dạng 2: Nhân, chia số phức dạng lượng giác

1. Phương pháp giải

Nếu z = r.(cosφ + i.sinφ) và z’ = r’.(cosφ’ + i.sinφ’); (r ≥ 0; r’ ≤ 0)
Thì
z.z’ = r.r'[cos(φ + φ’) + i.sin(φ + φ’)]
= r.r’.[cos(φ’ – φ) + i.sin(φ’ – φ)]; (r > 0)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = (1 – i√3).(1 + i)

A. z = 2√2[cos(-π/3) + i.sin(-π/3)]
B. z = 2[cos(-π/3) + i.sin(-π/3)]
C. z = [cos(-π/3) + i.sin(-π/3)]
D. Đáp án khác

Lời giải:
Ta có:
1 – i√3 = 2[cos(-π/3) + i.sin(-π/3)]
1 + i = √2[cos(π/4) + i.sin(π/4)]
Áp dụng công thức nhân, chia số phức ta được:
z = (1 – i√3)(1 + i) = 2√2[cos(-π/3) + i.sin(-π/3)]
Chọn A.

Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = -2(cosπ/3 + i.sinπ/3)

A. 2[cos(-5π/3) + i.sin(-5π/3)]
B. 2√2[cos(π/3) + i.sin(π/3)]
C. √2[cos(-5π/3) + i.sin(-5π/3)]
D. [cos(π/3) + i.sin(π/3)]

Lời giải:
Ta có:
-2 = 2(cosπ + i.sinπ)
-2 = 2(cos(-π + 2π) + i.sin(-π + 2π))
Do đó, z = -2(cosπ/3 + i.sinπ/3) = 2[cos(-5π/3) + i.sin(-5π/3)]
Chọn A.

Ví dụ 3: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = 3 + 3i

A. 6(cosπ/4 + i.sinπ/4)
B. 6√2(cosπ/4 + i.sinπ/4)
C. 6(cosπ/3 + i.sinπ/3)
D. 6[cos(-π/3) + i.sin(-π/3)]

Lời giải:
Ta có: z = 3 + 3i = 6[cosπ/4 + i.sinπ/4]
Chọn A.

Ví dụ 4: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = -4i

A. [cosπ/2 + i.sinπ/2]
B. [cos(-π/2) + i.sin(-π/2)]
C. [cos(-π) + i.sin(-π)]
D. [cos0 + i.sin0]

Lời giải:
Ta có: -4i = -4[cos(-π/2) + i.sin(-π/2)]
Chọn B.

Ví dụ 5: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = (2 – i)2

A. 7(cos(-π/4) + i.sin(-π/4))
B. 7√2(cos(π/4) + i.sin(π/4))
C. 7(cos(-π/4) – i.sin(-π/4))
D. 7(cos(π/4) – i.sin(π/4))

Lời giải:
Ta có: (2 – i)2 = (2 – i)(2 – i) = 7[cos(-π/4) + i.sin(-π/4)]
Chọn A.

Dạng 3: Công thức Moa-vro

1. Phương pháp giải

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z = (√2 + √2i)^10

A. 25(cosπ/4 + i.sinπ/4)
B. 210(cosπ/4 + i.sinπ/4)
C. 25(cos(-π/4) + i.sin(-π/4))
D. 210(cosπ/4 + i.sinπ/4)

Lời giải:
Ta có: √2 + √2i = 2(cosπ/4 + i.sinπ/4)
Do đó,
z = (√2 + √2i)^10 = [2(cosπ/4 + i.sinπ/4)]^10
= 210(cosπ/4 + i.sinπ/4)
= 210.(cosπ/4 + i.sinπ/4)
Chọn B.

Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z = (√3 + 1)(2 + 2i)

A. (cos(π/3) + i.sin(π/3))
B. (cos(-π/3) + i.sin(-π/3))
C. (cos(-π/3) + i.sin(-π/3))
D. (cos(π/3) + i.sin(π/3))

Lời giải:
Ta có:
√3 + 1 = 2(cosπ/6 + i.sinπ/6)
2 + 2i = 2√2(cosπ/4 + i.sinπ/4)
Do đó:
z = (√3 + 1)(2 + 2i) = 2√2(cos(π/6 + π/4) + i.sin(π/6 + π/4))
= 2√2[cos(5π/12) + i.sin(5π/12)]
Chọn D.

Ví dụ 3: Cho số phức sau(cosπ/2 – i.sinπ/2)i^5(1 + √3i)^7
Tìm phần ảo của số phức.

A. 64
B. 128
C. 256
D. 32

Lời giải:
Ta có:
1 – i = √2(cos(-π/4) – i.sin(-π/4))
(1 + √3i)^9 = 29.(cos(9π/6) + i.sin(9π/6)) = 29.(cosπ/2 + i.sinπ/2) = 29i
Do đó:
z = (cos(-π) + i.sin(-π))i^5(1 + √3i)^7 = [cos(-π) + i.sin(-π)]i^5(29i)
= 27[cos(2π) + i.sin(2π)]i = 27i
Vậy phần ảo bằng 27 = 128.
Chọn B.

Ví dụ 4: Tính số phức sau:

A. 1 + i
B. 2 + 2i
C. -1
D. 2i

Lời giải:
Ta có:
1 – i√3 = √2(cos(-π/3) + i.sin(-π/3))
√3 + i = 2(cosπ/6 + i.sinπ/6)
-1 – i√3 = 2(cos2π/3 + i.sin2π/3)
Do đó:
z = (1 – i√3)(√3 + i)(-1 – i√3)(√2 + i)
= (1 + √3)(2 + i)(√2 + i)
= (√2 + √6)(2 + i)
= 2√2(cosπ/4 + i.sinπ/4)
Chọn C.

Ví dụ 5: Cho số phức z = 1 – cosπ/2 + i.sinπ/2.Tính z^1012

A. (2sinπ/2)^2012(cosπ/2 + i.sinπ/2)
B. (2sinπ/2)^2012(cosπ/2 + i.sinπ/2)
C. (2sinπ/2)^2012(cosπ/2 + i.sinπ/2)
D. (2sinπ/2)^2012(cosπ/2 + i.sinπ/2)

Lời giải:
Ta có:
z = 1 – cosπ/2 + i.sinπ/2
= 1 – 0 + i
= 1 + i
Do đó:
z^1012 = (1 + i)^1012
= (2sinπ/4)^1012(cosπ/4 + i.sinπ/4)
= (2sinπ/2)^2012(cosπ/2 + i.sinπ/2)

Chọn A.

Dạng 4: Ứng dụng công thức Moa- vro

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình: z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0?

A. z = -1; z = + i; z = -∛2 – i∛2; z = -∛2 + i∛2; z = – i; z = -∛2 + ∛2.
B. z = -1; z = 1 + i; z = -1 – i; z = – i; z = -∛2 + ∛2.
C. z = -1; z = + i; z = -∛2 – i∛2; z = -√3i; z = -∛2 + ∛2.
D. z = -1; z = 1 + √3i; z = – i; z = 1 – √3i; z = -∛2 + i∛2.

Lời giải:
Phương trình: z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0
⇔ (z + 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0
⇔ (z + 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0
⇔ z + 1 = 0
⇔ z = -1

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm:
z = -1; z = + i; z = -∛2 – i∛2; z = -∛2 + i∛2; z = – i; z = -∛2 + ∛2.
Chọn A.

Ví dụ 2: Tìm số phức z sao cho z^6 + 64 = 0?

A. ∛3 ± 2i; ±2i; -∛3 ± i
B. ∛3 ± i; ±2i; -∛3 ± i
C. ∛3 ± i; ±2i; -∛3 ± 2i
D. 1 ± ∛3; ±2i; 1 ± ∛3

Lời giải:
Ta có:
z^6 + 64 = 0
⇒ z^6 = -64

Dễ thấy 4 – 2√3 = (√3 – 1)^2 = (i + 1)^2
Khi đó, ∆ = [(√3 – 1)(i + 1)]^2

Suy ra phương trình cho có 2 nghiệm: z1 = ∛3 – i, z2 = 1 – i∛3

Mặt khác:
z^6 = ∛3 – i, z = ∛6 – i∛3
z^2 = (∛3 – i)^2 = 7

Do đó nghiệm của phương trình đã cho là
z = ∛6 – i∛3 ± i√6 = 1 ± √3; ±2i; 1 ± √3
Chọn D.

Ví dụ 3: Tìm số phức z sao cho z^5 và z^2 là hai số phức liên hợp?

A. z1 = 1; z2 = √3 + i; z3 = -√3 – i
B. z1 = -1; z2 = √3 + i; z3 = -√3 – i
C. z1 = 1; z2 = -√3 – i; z3 = -√3 + i
D. Đáp án khác.

Lời giải:
Gọi dạng lượng giác của số phức z là:
z = r(cosφ + i.sinφ)

Do đó z^5 và z^2 là hai số phức liên hợp khi và chỉ khi z^5 = z*^2

Hay là:
r^5.(cos5φ + i.sin5φ) = r^2.(cos2φ – i.sin2φ)

Vì r ≠ 0, nên phương trình trở thành:
cos5φ + i.sin5φ = cos2φ – i.sin2φ

Vậy ta có:
5φ = 2πk + (-2φ) + 2πk’; (1)

Với k = 0 ⇒ z1 = r (cosφ + i.sinφ) = 1
Với k = -1 ⇒ z2 = r (cos(-φ) + i.sin(-φ)) = √3 + i
Với k = 1 ⇒ z3 = r (cosφ + i.sinφ) = -√3 – i

Chọn A.

Ví dụ 4: Tính S1 = ∑(i=0 -> n) (-1)^i

A. (√2)^n.cos(nπ/4)
B. 2^n.cos(nπ/4)
C. (√2)^n.cos(nπ/4)
D. 2^n.cos(nπ/4)

Lời giải:
Xét khai triển nhị thức Newton:
(1 + i)^n = ∑(i=0 -> n) C(n, i).i
Vì (-1)^i.k = m ∈ Z+ nên ta có:
(1 + i)^n = ∑(i=0 -> n) C(n, i).i(-1)^i

Chọn A.

Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải mới nhất 2024 - Bí Kíp Điểm 10

Bài tập Dạng lượng giác của số phức trong đề thi Đại học có lời giải mới nhất 2024

Những bài tập liên quan đến Dạng lượng giác của số phức là một phần quan trọng trong đề thi Đại học. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về Dạng lượng giác của số phức và làm các bài tập dưới đây để nắm vững kiến thức này.

Dạng 1: Viết số phức dưới dạng lượng giác

1. Phương pháp giải

  • Định nghĩa: Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.
  • Cho số phức z = a + bi, (a, b ∈ R). Để viết số phức z dưới dạng lượng giác ta làm như sau:
    • Tìm một acgumen của số phức z là φ.
    • Tính môđun của số phức z: |z| = r = √(a^2 + b^2).
    • Khi đó, ta có z = r(cosφ + i.sinφ).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức z = 6 + 6i dưới dạng lượng giác?

A. z = 6√2(cosπ/4 + i.sinπ/4)
B. z = 6(cosπ/4 + i.sinπ/4)
C. z = 3√2(cosπ/4 + i.sinπ/4)
D. z = 3√2(cosπ/4 + i.sinπ/4)

Lời giải:
Ta có: |z| = r = √(6^2 + 6^2) = 6√2
Chọn φ là số thực thoả mãn ⇒ φ = π/4
Do đó, dạng lượng giác của số phức z là: z = 6√2(cosπ/4 + i.sinπ/4)
Chọn A.

Ví dụ 2: Viết số 10 dưới dạng lượng giác?

A. 10.(cosπ + i.sinπ)
B. 10.(cos0 + i.sin0)
C. 10√2(cosπ + i.sinπ)
D. 10√2(cos0 + i.sin0)

Lời giải:
Ta có: Số 10 có mô đun là 10 và có một acgumen bằng 0 nên nó có dạng lượng giác là:
10.(cos0 + i.sin0).
Chọn B.

Ví dụ 3: Viết số -1 dưới dạng lượng giác.

A. -1.(cos0 + i.sin0)
B. (cos-2π + i.sin-2π)
C. (cosπ + i.sinπ)
D. -1.(cosπ/2 + i.sinπ/2)

Lời giải:
Số -1 có mô đun là 1, có một acgumen là π nên số đó có dạng lượng giác là:
-1 = (cosπ + i.sinπ)
Chọn C.

Ví dụ 4: Viết số phức z = 3i dưới dạng lượng giác?

A. [cos(-π/2) + i.sin(-π/2)]
B. [cos(-π/2) + i.sin(-π/2)]
C. [cos(π/2) + i.sin(π/2)]
D. [cos(π/2) + i.sin(π/2)]

Lời giải:
Ta có: z = 3i = 3(cosπ/2 + i.sinπ/2).
Chọn C.

Ví dụ 5: Viết số phức z = -100 dưới dạng lượng giác?

A. z = -100√2(cosπ + i.sinπ)
B. z = -100.(cos0 + i.sin0)
C. z = -100√2(cosπ + i.sinπ)
D. z = -100.(cosπ + i.sinπ)

Lời giải:
Ta có: |z| = 100
Gọi φ là một acgumen của z thì φ thỏa mãn: cosφ = -1; sinφ = 0 ⇒ φ = π.
Do đó, dạng lượng giác của số phức z là:
z = -100(cosπ + i.sinπ)
Chọn D.

Dạng 2: Nhân, chia số phức dạng lượng giác

1. Phương pháp giải

Nếu z = r.(cosφ + i.sinφ) và z’ = r’.(cosφ’ + i.sinφ’); (r ≥ 0; r’ ≤ 0)
Thì
z.z’ = r.r'[cos(φ + φ’) + i.sin(φ + φ’)]
= r.r’.[cos(φ’ – φ) + i.sin(φ’ – φ)]; (r > 0)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = (1 – i√3).(1 + i)

A. z = 2√2[cos(-π/3) + i.sin(-π/3)]
B. z = 2[cos(-π/3) + i.sin(-π/3)]
C. z = [cos(-π/3) + i.sin(-π/3)]
D. Đáp án khác

Lời giải:
Ta có:
1 – i√3 = 2[cos(-π/3) + i.sin(-π/3)]
1 + i = √2[cos(π/4) + i.sin(π/4)]
Áp dụng công thức nhân, chia số phức ta được:
z = (1 – i√3)(1 + i) = 2√2[cos(-π/3) + i.sin(-π/3)]
Chọn A.

Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = -2(cosπ/3 + i.sinπ/3)

A. 2[cos(-5π/3) + i.sin(-5π/3)]
B. 2√2[cos(π/3) + i.sin(π/3)]
C. √2[cos(-5π/3) + i.sin(-5π/3)]
D. [cos(π/3) + i.sin(π/3)]

Lời giải:
Ta có:
-2 = 2(cosπ + i.sinπ)
-2 = 2(cos(-π + 2π) + i.sin(-π + 2π))
Do đó, z = -2(cosπ/3 + i.sinπ/3) = 2[cos(-5π/3) + i.sin(-5π/3)]
Chọn A.

Ví dụ 3: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = 3 + 3i

A. 6(cosπ/4 + i.sinπ/4)
B. 6√2(cosπ/4 + i.sinπ/4)
C. 6(cosπ/3 + i.sinπ/3)
D. 6[cos(-π/3) + i.sin(-π/3)]

Lời giải:
Ta có: z = 3 + 3i = 6[cosπ/4 + i.sinπ/4]
Chọn A.

Ví dụ 4: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = -4i

A. [cosπ/2 + i.sinπ/2]
B. [cos(-π/2) + i.sin(-π/2)]
C. [cos(-π) + i.sin(-π)]
D. [cos0 + i.sin0]

Lời giải:
Ta có: -4i = -4[cos(-π/2) + i.sin(-π/2)]
Chọn B.

Ví dụ 5: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác z = (2 – i)2

A. 7(cos(-π/4) + i.sin(-π/4))
B. 7√2(cos(π/4) + i.sin(π/4))
C. 7(cos(-π/4) – i.sin(-π/4))
D. 7(cos(π/4) – i.sin(π/4))

Lời giải:
Ta có: (2 – i)2 = (2 – i)(2 – i) = 7[cos(-π/4) + i.sin(-π/4)]
Chọn A.

Dạng 3: Công thức Moa-vro

1. Phương pháp giải

  • Công thức Moa- vro
    Cho số nguyên dương n ta có:
    [r(cosφ + i.sinφ)]n = r^n(cos(nφ) + i.sin(nφ))
    Khi r = 1 ta có: (cosφ + i.sinφ)^n = cos(nφ) + i.sin(nφ)

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z = (√2 + √2i)^10

A. 25(cosπ/4 + i.sinπ/4)
B. 210(cosπ/4 + i.sinπ/4)
C. 25(cos(-π/4) + i.sin(-π/4))
D. 210(cosπ/4 + i.sinπ/4)

Lời giải:
Ta có: √2 + √2i = 2(cosπ/4 + i.sinπ/4)
Do đó,
z = (√2 + √2i)^10 = [2(cosπ/4 + i.sinπ/4)]^10
= 210(cosπ/4 + i.sinπ/4)
= 210.(cosπ/4 + i.sinπ/4)
Chọn B.

Ví dụ 2: Viết số phức sau dưới dạng lượng giác: z = (√3 + 1)(2 + 2i)

A. (cos(π/3) + i.sin(π/3))
B. (cos(-π/3) + i.sin(-π/3))
C. (cos(-π/3) + i.sin(-π/3))
D. (cos(π/3) + i.sin(π/3))

Lời giải:
Ta có:
√3 + 1 = 2(cosπ/6 + i.sinπ/6)
2 + 2i = 2√2(cosπ/4 + i.sinπ/4)
Do đó:
z = (√3 + 1)(2 + 2i) = 2√2(cos(π/6 + π/4) + i.sin(π/6 + π/4))
= 2√2[cos(5π/12) + i.sin(5π/12)]
Chọn D.

Ví dụ 3: Cho số phức sau(cosπ/2 – i.sinπ/2)i^5(1 + √3i)^7
Tìm phần ảo của số phức.

A. 64
B. 128
C. 256
D. 32

Lời giải:
Ta có:
1 – i = √2(cos(-π/4) – i.sin(-π/4))
(1 + √3i)^9 = 29.(cos(9π/6) + i.sin(9π/6)) = 29.(cosπ/2 + i.sinπ/2) = 29i
Do đó:
z = (cos(-π) + i.sin(-π))i^5(1 + √3i)^7 = [cos(-π) + i.sin(-π)]i^5(29i)
= 27[cos(2π) + i.sin(2π)]i = 27i
Vậy phần ảo bằng 27 = 128.
Chọn B.

Ví dụ 4: Tính số phức sau:

A. 1 + i
B. 2 + 2i
C. -1
D. 2i

Lời giải:
Ta có:
1 – i√3 = √2(cos(-π/3) + i.sin(-π/3))
√3 + i = 2(cosπ/6 + i.sinπ/6)
-1 – i√3 = 2(cos2π/3 + i.sin2π/3)
Do đó:
z = (1 – i√3)(√3 + i)(-1 – i√3)(√2 + i)
= (1 + √3)(2 + i)(√2 + i)
= (√2 + √6)(2 + i)
= 2√2(cosπ/4 + i.sinπ/4)
Chọn C.

Ví dụ 5: Cho số phức z = 1 – cosπ/2 + i.sinπ/2.Tính z^1012

A. (2sinπ/2)^2012(cosπ/2 + i.sinπ/2)
B. (2sinπ/2)^2012(cosπ/2 + i.sinπ/2)
C. (2sinπ/2)^2012(cosπ/2 + i.sinπ/2)
D. (2sinπ/2)^2012(cosπ/2 + i.sinπ/2)

Lời giải:
Ta có:
z = 1 – cosπ/2 + i.sinπ/2
= 1 – 0 + i
= 1 + i
Do đó:
z^1012 = (1 + i)^1012
= (2sinπ/4)^1012(cosπ/4 + i.sinπ/4)
= (2sinπ/2)^2012(cosπ/2 + i.sinπ/2)

Chọn A.

Dạng 4: Ứng dụng công thức Moa- vro

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình: z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0?

A. z = -1; z = + i; z = -∛2 – i∛2; z = -∛2 + i∛2; z = – i; z = -∛2 + ∛2.
B. z = -1; z = 1 + i; z = -1 – i; z = – i; z = -∛2 + ∛2.
C. z = -1; z = + i; z = -∛2 – i∛2; z = -√3i; z = -∛2 + ∛2.
D. z = -1; z = 1 + √3i; z = – i; z = 1 – √3i; z = -∛2 + i∛2.

Lời giải:
Phương trình: z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0
⇔ (z + 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0
⇔ (z + 1)(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0
⇔ z + 1 = 0
⇔ z = -1

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm:
z = -1; z = + i; z = -∛2 – i∛2; z = -∛2 + i∛2; z = – i; z = -∛2 + ∛2.
Chọn A.

Ví dụ 2: Tìm số phức z sao cho z^6 + 64 = 0?

A. ∛3 ± 2i; ±2i; -∛3 ± i
B. ∛3 ± i; ±2i; -∛3 ± i
C. ∛3 ± i; ±2i; -∛3 ± 2i
D. 1 ± ∛3; ±2i; 1 ± ∛3

Lời giải:
Ta có:
z^6 + 64 = 0
⇒ z^6 = -64

Dễ thấy 4 – 2√3 = (√3 – 1)^2 = (i + 1)^2
Khi đó, ∆ = [(√3 – 1)(i + 1)]^2

Suy ra phương trình cho có 2 nghiệm: z1 = ∛3 – i, z2 = 1 – i∛3

Mặt khác:
z^6 = ∛3 – i, z = ∛6 – i∛3
z^2 = (∛3 – i)^2 = 7

Do đó nghiệm của phương trình đã cho là
z = ∛6 – i∛3 ± i√6 = 1 ± √3; ±2i; 1 ± √3
Chọn D.

Ví dụ 3: Tìm số phức z sao cho z^5 và z^2 là hai số phức liên hợp?

A. z1 = 1; z2 = √3 + i; z3 = -√3 – i
B. z1 = -1; z2 = √3 + i; z3 = -√3 – i
C. z1 = 1; z2 = -√3 – i; z3 = -√3 + i
D. Đáp án khác.

Lời giải:
Gọi dạng lượng giác của số phức z là:
z = r(cosφ + i.sinφ)

Do đó z^5 và z^2 là hai số phức liên hợp khi và chỉ khi z^5 = z*^2

Hay là:
r^5.(cos5φ + i.sin5φ) = r^2.(cos2φ – i.sin2φ)

Vì r ≠ 0, nên phương trình trở thành:
cos5φ + i.sin5φ = cos2φ – i.sin2φ

Vậy ta có:
5φ = 2πk + (-2φ) + 2πk’; (1)

Với k = 0 ⇒ z1 = r (cosφ + i.sinφ) = 1
Với k = -1 ⇒ z2 = r (cos(-φ) + i.sin(-φ)) = √3 + i
Với k = 1 ⇒ z3 = r (cosφ + i.sinφ) = -√3 – i

Chọn A.

Ví dụ 4: Tính S1 = ∑(i=0 -> n) (-1)^i

A. (√2)^n.cos(nπ/4)
B. 2^n.cos(nπ/4)
C. (√2)^n.cos(nπ/4)
D. 2^n.cos(nπ/4)

Lời giải:
Xét khai triển nhị thức Newton:
(1 + i)^n = ∑(i=0 -> n) C(n, i).i
Vì (-1)^i.k = m ∈ Z+ nên ta có:
(1 + i)^n = ∑(i=0 -> n) C(n, i).i(-1)^i

Chọn A.