Chào mừng các bạn đến với bài viết này! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về phân thức đại số và cách giải bài tập trong môn Toán lớp 8. Hãy cùng tìm hiểu các quy tắc và dạng bài tập thú vị nhé!

I. Lý thuyết

1. Phép cộng các phân thức đại số

a) Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức
Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).

b) Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức
Bước 1: Quy đồng mẫu thức
Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

c) Tính chất của phép cộng
Cho ba phân thức AB;CD;EFvới B;D;F≠0

2. Phép trừ các phân thức đại số

a) Phân thức đối

b) Quy tắc trừ hai phân thức đại số
Muốn trừ phân thức AB cho phân thức CD ta lấy phân thức AB cộng với phân thức đối của CD:
AB−CD=AB+−CD với B;D≠0.

3. Phép nhân các phân thức đại số

a) Quy tắc nhân phân thức
Muốn nhân hai phân thức ta nhân tử thức với tử thức và mẫu thức với mẫu thức
AB.CD=ACBD với B;D≠0.

b) Tính chất của phép nhân:
Cho ba phân thức AB;CD;EFvới B;D;F≠0

4. Phép chia các phân thức đại số

a) Hai phân thức nghịch đảo

b) Quy tắc chia hai phân thức.
Muốn chia phân thức ABcho phân thức CD CD≠0, ta nhân phân thức ABvới nghịch đảo của phân thức CD
Tức là AB:CD=AB.DC=ADBCCD≠0.

Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính về số.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Cộng các phân thức đại số

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số cùng với các tính chất của phân thức đại số để giải toán

Ví dụ 1: Cộng các phân thức đại số sau:
a) 10+xx−2+x−18x−2+x+2×2−4 với x≠±2
b) 2xy2+2x−3yx2y2+3x2y với x≠0;y≠0
c) 3−3x2x+3x−12x−1+11x−52x−4×2 với x≠0;x≠12.
Lời giải:
a) 10+xx−2+x−18x−2+x+2×2−4
=10+xx−2+x−18x−2+x+2x−2x+2
=10+xx−2+x−18x−2+1x−2
=10+x+x−18+1x−2
=2x−7x−2với x≠±2.
b) 2xy2+2x−3yx2y2+3x2y
=2xx2y2+2x−3yx2y2+3yx2y2
=2x+2x−3y+3yx2y2
=4xx2y2=4xy2 với x≠0;y≠0.
c) 3−3x2x+3x−12x−1+11x−52x−4×2
=3−3x2x+3x−12x−1+−11x−54×2−2x
=3−3x2x+3x−12x−1+−11x+52x2x−1
=3−3x2x−12x2x−1+3x−1.2x2x2x−1+−11x+52x2x−1
=6x−6×2−3+3x2x2x−1+6×2−2x2x2x−1+−11x+52x2x−1
=6x−6×2−3+3x+6×2−2x−11x+52x2x−1
=6x−6×2−3+3x+6×2−2x−11x+52x2x−1
=6×2−6×2+6x+3x−2x−11x+−3+52x2x−1
=−4x+22x2x−1
=−22x−12x2x−1
=−1xvới x≠0;x≠12.

Ví dụ 2: Cho A = xx−2y+xx+2y+−4xy4y2−x2 với y≠±2x
a) Rút gọn A.
b) Tính A khi x = 1; y = 3.
Lời giải:
a) A=xx−2y+xx+2y+−4xy4y2−x2
A=xx−2y+xx+2y+4xyx2−4y2
A=xx−2y+xx+2y+4xyx−2yx+2y
A=xx+2yx−2yx+2y+xx−2yx−2yx+2y+4xyx−2yx+2y
A=x2+2xyx−2yx+2y+x2−2xyx−2yx+2y+4xyx−2yx+2y
A=x2+2xy+x2−2xy+4xyx−2yx+2y
A=x2+x2+2xy−2xy+4xyx−2yx+2y
A=2×2+4xyx−2yx+2y
A=2xx+2yx−2yx+2y
A=2xx−2y
b) Với x = 1; y = 3 (thỏa mãn điều kiện) thay vào A ta được:
A=2.11−2.3=21−6=−25
Vậy A=−25 khi x = 1; y = 3.

Dạng 2: Trừ các phân thức đại số
Phương pháp giải: Thực hiện theo 2 bước
Bước 1: Áp dụng quy tắc cộng với phân thức đối
Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng cùng mẫu thức và khác mẫu thức
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
a) 4xy−15x2y−2xy−15x2y với x≠0;y≠0
b) x+1x−5−1−xx+5−2×1−x25−x2 với x≠±5.
Lời giải:
a) 4xy−15x2y−2xy−15x2y
=4xy−15x2y+−2xy−15x2y
=4xy−1−2xy−15x2y
=4xy−2xy+−1+15x2y
=2xy5x2y=25xvới x≠0;y≠0.
b) x+1x−5−1−xx+5−2×1−x25−x2
=x+1x−5−1−xx+5+2x−2x2x2−25
=x+1x−5−1−xx+5+2x−2x2x−5x+5
=x+1x+5x−5x+5−1−xx−5x−5x+5+2x−2x2x−5x+5
=x2+x+5x+5x−5x+5−x−x2+5x−5x−5x+5+2x−2x2x−5x+5
=x2+x+5x+5−x−x2+5x−5+2x−2x2x−5x+5
=x2+x+5x+5−x+x2−5x+5+2x−2x2x−5x+5
=x2+x+5x+5−x+x2−5x+5+2x−2x2x−5x+5
=x2+x2+2x−2×2+x+5x−x−5x+2x+5+5x−5x+5
=2x+10x−5x+5
=2x+5x−5x+5
=2x−5với x≠±5

Dạng 3: Nhân các phân thức đại số
Phương pháp giải: Vận dụng các quy tắc nhân phân thức đại số

Chú ý: Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức ta vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức với nhau. Nếu có dấu ngoặc ta ưu tiên thực hiện phép tính trong ngoặc trước.
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
a) A=x2x+3.×2−9x3với x≠0;x≠3
b) B=x+3×2−4.8−12x+6×2−x3x+3với x≠−3;x≠±2
c) C=x−12x.x3x−1−x2−x−1 với x≠0;x≠1.
Lời giải:
a) A=x2x+3.×2−9×3
=A=x2.x2−9x+3.×3
=A=x2x−3x+3.x+3.×2−9×3
=A=x−3xvới x≠0;x≠−3.
b) B=x+3×2−4.8−12x+6×2−x3x+3
=B=x+3x+2x−2.2−x3x+3
=B=x+3x+2x−2x+3
=B=−x−23x+2x−2
=B=−x−22x+2với x≠−3;x≠±2.
c) C=x−12x.x3x−1−x2−x−1
=C=x−12x.x3x−1−x2+x+1
=C=x−12x.x3x−1−x3−1x−1
=C=x−12xx3−x3+1x−1
=C=x−12x.1x−1=12xvới x≠0;x≠1.

Ví dụ 2: Tính hợp lí biểu thức sau
M=11−x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16với x≠±1.
Lời giải:
M=11−x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x1+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x2.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x21+x2.11+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x4.11+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x4.11+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x41+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x8.11+x8.11+x16
=M=11−x8.11+x8.11+x16
=M=11−x81+x8.11+x16
=M=11−x16.11+x16=11−x16.1+x16
=M=11−x32 với x≠±1.

Dạng 4: Chia các phân thức đại số
Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc chia phân thức.

Chú ý: Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải. Ưu tiên tính toán biểu thức trong ngoặc trước.
Ví dụ 1: Làm tính chia
a) x3−15x+10:x−1x+2với x≠−2;x≠1
b) x2−4xy+4y2x2−xy+y2:4x−8y2x3+2y3 với x≠−y;x≠2y
c) x+4x+5:x+5x+6:x+6x+4 với x≠−4;x≠−5;x≠−6.
Lời giải:
a) x3−15x+10:x−1x+2
=x3−15x+10⋅x+2x−1
=x−1×2+x+15x+2⋅x+2x−1
=x−1×2+x+1x+25x+2x−1
=x2+x+15 với x≠−2;x≠1.
b) x2−4xy+4y2x2−xy+y2:4x−8y2x3+2y3
=x2−4xy+4y2x2−xy+y2⋅2×3+2y34x−8y
=x−2y2x2−xy+y2⋅2×3+y34x−2y
=x−2y2x2−xy+y2⋅2x+yx2−xy+y24x−2y
=x−2y2.2x+yx2−xy+y2x2−xy+y2.4x−2y
=x−2yx+y2 với x≠−y;x≠2y.
c) x+4x+5:x+5x+6:x+6x+4
=x+4x+5⋅x+6x+5⋅x+4x+6
=x+4x+6x+4x+5x+5x+6
=x+42x+52 với x≠−4;x≠−5;x≠−6.

Ví dụ 2: Tìm các phân thức Q và P trong các trường hợp sau:
a) 4×2+x+1−P=21−x+2×2+4xx3−1 với x≠0;x≠−1
b) 2×2−1+Q=6x−3−2×21−x2 với x≠±1;x≠3.
Lời giải:
a) 4×2+x+1−P=21−x+2×2+4xx3−1
⇒A=4×2+x+1−21−x+2×2+4xx3−1
⇔A=4×2+x+1−21−x+2×2+4x−4−xx−1−xx3−1
⇔A=4×2+x+1−21−x+2×2+4x−4−xx−1−xx3−1
⇔A=4×2+x+1−21−x+2×2+4x−4−xx−1−xx3−1
⇔A=4×2+x+1−21−x+2×2+4x−4−xx−1−xx3−1

Bài viết tiếp theo, chúng ta sẽ tiếp tục tìm hiểu các dạng bài tập khác về phân thức đại số và cách giải chúng. Hãy tiếp tục theo dõi nhé!

Đọc thêm

50 bài tập về phân thức đại số (có đáp án 2023) – Toán 8 - Bí Kíp Điểm 10

50 bài tập về phân thức đại số (có đáp án 2023) – Toán 8

Chào mừng các bạn đến với bài viết này! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về phân thức đại số và cách giải bài tập trong môn Toán lớp 8. Hãy cùng tìm hiểu các quy tắc và dạng bài tập thú vị nhé!

I. Lý thuyết

1. Phép cộng các phân thức đại số

a) Quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức
Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức (tương tự như cộng hai phân số cùng mẫu).

b) Quy tắc cộng hai phân thức khác mẫu thức
Bước 1: Quy đồng mẫu thức
Bước 2: Cộng hai phân thức cùng mẫu vừa tìm được.

c) Tính chất của phép cộng
Cho ba phân thức AB;CD;EFvới B;D;F≠0

  • Tính giao hoán: AB+CD=CD+AB
  • Tính kết hợp: AB+CD+EF=AB+CD+EF
  • Cộng với 0: AB+0=0+AB=AB.

2. Phép trừ các phân thức đại số

a) Phân thức đối

  • Hai phân thức được gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0.
  • Phân thức −AB là phân thức đối của ABvới B≠0 và ngược lại phân thức AB là phân thức đối của phân thức −AB. Ta có: −AB+AB=0.
    Như vậy: −AB=−AB và −−AB=AB.

b) Quy tắc trừ hai phân thức đại số
Muốn trừ phân thức AB cho phân thức CD ta lấy phân thức AB cộng với phân thức đối của CD:
AB−CD=AB+−CD với B;D≠0.

3. Phép nhân các phân thức đại số

a) Quy tắc nhân phân thức
Muốn nhân hai phân thức ta nhân tử thức với tử thức và mẫu thức với mẫu thức
AB.CD=ACBD với B;D≠0.

b) Tính chất của phép nhân:
Cho ba phân thức AB;CD;EFvới B;D;F≠0

  • Tính giao hoán: AB.CD=CD.AB
  • Tính kết hợp: AB.CD.EF=AB.CD.EF
  • Tính phân phối: AB+CD.EF=AB.EF+CD.EF

4. Phép chia các phân thức đại số

a) Hai phân thức nghịch đảo

  • Hai phân thức nghịch đảo là hai phân thức mà tích của chúng bằng 1.
  • Nếu AB là một phân thức khác 0 thì AB.BA=1, do đó:
  • Phân thức nghịch đảo của ABlà BA.
  • Phân thức nghịch đảo của BA là AB.

b) Quy tắc chia hai phân thức.
Muốn chia phân thức ABcho phân thức CD CD≠0, ta nhân phân thức ABvới nghịch đảo của phân thức CD
Tức là AB:CD=AB.DC=ADBCCD≠0.

Chú ý: Thứ tự thực hiện các phép tính về phân thức cũng giống như thứ tự thực hiện các phép tính về số.

II. Các dạng bài tập

Dạng 1: Cộng các phân thức đại số

Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp hai quy tắc cộng phân thức đại số cùng với các tính chất của phân thức đại số để giải toán

Ví dụ 1: Cộng các phân thức đại số sau:
a) 10+xx−2+x−18x−2+x+2×2−4 với x≠±2
b) 2xy2+2x−3yx2y2+3x2y với x≠0;y≠0
c) 3−3x2x+3x−12x−1+11x−52x−4×2 với x≠0;x≠12.
Lời giải:
a) 10+xx−2+x−18x−2+x+2×2−4
=10+xx−2+x−18x−2+x+2x−2x+2
=10+xx−2+x−18x−2+1x−2
=10+x+x−18+1x−2
=2x−7x−2với x≠±2.
b) 2xy2+2x−3yx2y2+3x2y
=2xx2y2+2x−3yx2y2+3yx2y2
=2x+2x−3y+3yx2y2
=4xx2y2=4xy2 với x≠0;y≠0.
c) 3−3x2x+3x−12x−1+11x−52x−4×2
=3−3x2x+3x−12x−1+−11x−54×2−2x
=3−3x2x+3x−12x−1+−11x+52x2x−1
=3−3x2x−12x2x−1+3x−1.2x2x2x−1+−11x+52x2x−1
=6x−6×2−3+3x2x2x−1+6×2−2x2x2x−1+−11x+52x2x−1
=6x−6×2−3+3x+6×2−2x−11x+52x2x−1
=6x−6×2−3+3x+6×2−2x−11x+52x2x−1
=6×2−6×2+6x+3x−2x−11x+−3+52x2x−1
=−4x+22x2x−1
=−22x−12x2x−1
=−1xvới x≠0;x≠12.

Ví dụ 2: Cho A = xx−2y+xx+2y+−4xy4y2−x2 với y≠±2x
a) Rút gọn A.
b) Tính A khi x = 1; y = 3.
Lời giải:
a) A=xx−2y+xx+2y+−4xy4y2−x2
A=xx−2y+xx+2y+4xyx2−4y2
A=xx−2y+xx+2y+4xyx−2yx+2y
A=xx+2yx−2yx+2y+xx−2yx−2yx+2y+4xyx−2yx+2y
A=x2+2xyx−2yx+2y+x2−2xyx−2yx+2y+4xyx−2yx+2y
A=x2+2xy+x2−2xy+4xyx−2yx+2y
A=x2+x2+2xy−2xy+4xyx−2yx+2y
A=2×2+4xyx−2yx+2y
A=2xx+2yx−2yx+2y
A=2xx−2y
b) Với x = 1; y = 3 (thỏa mãn điều kiện) thay vào A ta được:
A=2.11−2.3=21−6=−25
Vậy A=−25 khi x = 1; y = 3.

Dạng 2: Trừ các phân thức đại số
Phương pháp giải: Thực hiện theo 2 bước
Bước 1: Áp dụng quy tắc cộng với phân thức đối
Bước 2: Áp dụng quy tắc cộng cùng mẫu thức và khác mẫu thức
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
a) 4xy−15x2y−2xy−15x2y với x≠0;y≠0
b) x+1x−5−1−xx+5−2×1−x25−x2 với x≠±5.
Lời giải:
a) 4xy−15x2y−2xy−15x2y
=4xy−15x2y+−2xy−15x2y
=4xy−1−2xy−15x2y
=4xy−2xy+−1+15x2y
=2xy5x2y=25xvới x≠0;y≠0.
b) x+1x−5−1−xx+5−2×1−x25−x2
=x+1x−5−1−xx+5+2x−2x2x2−25
=x+1x−5−1−xx+5+2x−2x2x−5x+5
=x+1x+5x−5x+5−1−xx−5x−5x+5+2x−2x2x−5x+5
=x2+x+5x+5x−5x+5−x−x2+5x−5x−5x+5+2x−2x2x−5x+5
=x2+x+5x+5−x−x2+5x−5+2x−2x2x−5x+5
=x2+x+5x+5−x+x2−5x+5+2x−2x2x−5x+5
=x2+x+5x+5−x+x2−5x+5+2x−2x2x−5x+5
=x2+x2+2x−2×2+x+5x−x−5x+2x+5+5x−5x+5
=2x+10x−5x+5
=2x+5x−5x+5
=2x−5với x≠±5

Dạng 3: Nhân các phân thức đại số
Phương pháp giải: Vận dụng các quy tắc nhân phân thức đại số

Chú ý: Đối với phép nhân có nhiều hơn hai phân thức ta vẫn nhân các tử thức với nhau và các mẫu thức với nhau. Nếu có dấu ngoặc ta ưu tiên thực hiện phép tính trong ngoặc trước.
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính
a) A=x2x+3.×2−9x3với x≠0;x≠3
b) B=x+3×2−4.8−12x+6×2−x3x+3với x≠−3;x≠±2
c) C=x−12x.x3x−1−x2−x−1 với x≠0;x≠1.
Lời giải:
a) A=x2x+3.×2−9×3
=A=x2.x2−9x+3.×3
=A=x2x−3x+3.x+3.×2−9×3
=A=x−3xvới x≠0;x≠−3.
b) B=x+3×2−4.8−12x+6×2−x3x+3
=B=x+3x+2x−2.2−x3x+3
=B=x+3x+2x−2x+3
=B=−x−23x+2x−2
=B=−x−22x+2với x≠−3;x≠±2.
c) C=x−12x.x3x−1−x2−x−1
=C=x−12x.x3x−1−x2+x+1
=C=x−12x.x3x−1−x3−1x−1
=C=x−12xx3−x3+1x−1
=C=x−12x.1x−1=12xvới x≠0;x≠1.

Ví dụ 2: Tính hợp lí biểu thức sau
M=11−x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16với x≠±1.
Lời giải:
M=11−x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x.11+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x1+x.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x2.11+x2.11+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x21+x2.11+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x4.11+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x4.11+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x41+x4.11+x8.11+x16
=M=11−x8.11+x8.11+x16
=M=11−x8.11+x8.11+x16
=M=11−x81+x8.11+x16
=M=11−x16.11+x16=11−x16.1+x16
=M=11−x32 với x≠±1.

Dạng 4: Chia các phân thức đại số
Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc chia phân thức.

Chú ý: Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải. Ưu tiên tính toán biểu thức trong ngoặc trước.
Ví dụ 1: Làm tính chia
a) x3−15x+10:x−1x+2với x≠−2;x≠1
b) x2−4xy+4y2x2−xy+y2:4x−8y2x3+2y3 với x≠−y;x≠2y
c) x+4x+5:x+5x+6:x+6x+4 với x≠−4;x≠−5;x≠−6.
Lời giải:
a) x3−15x+10:x−1x+2
=x3−15x+10⋅x+2x−1
=x−1×2+x+15x+2⋅x+2x−1
=x−1×2+x+1x+25x+2x−1
=x2+x+15 với x≠−2;x≠1.
b) x2−4xy+4y2x2−xy+y2:4x−8y2x3+2y3
=x2−4xy+4y2x2−xy+y2⋅2×3+2y34x−8y
=x−2y2x2−xy+y2⋅2×3+y34x−2y
=x−2y2x2−xy+y2⋅2x+yx2−xy+y24x−2y
=x−2y2.2x+yx2−xy+y2x2−xy+y2.4x−2y
=x−2yx+y2 với x≠−y;x≠2y.
c) x+4x+5:x+5x+6:x+6x+4
=x+4x+5⋅x+6x+5⋅x+4x+6
=x+4x+6x+4x+5x+5x+6
=x+42x+52 với x≠−4;x≠−5;x≠−6.

Ví dụ 2: Tìm các phân thức Q và P trong các trường hợp sau:
a) 4×2+x+1−P=21−x+2×2+4xx3−1 với x≠0;x≠−1
b) 2×2−1+Q=6x−3−2×21−x2 với x≠±1;x≠3.
Lời giải:
a) 4×2+x+1−P=21−x+2×2+4xx3−1
⇒A=4×2+x+1−21−x+2×2+4xx3−1
⇔A=4×2+x+1−21−x+2×2+4x−4−xx−1−xx3−1
⇔A=4×2+x+1−21−x+2×2+4x−4−xx−1−xx3−1
⇔A=4×2+x+1−21−x+2×2+4x−4−xx−1−xx3−1
⇔A=4×2+x+1−21−x+2×2+4x−4−xx−1−xx3−1

Bài viết tiếp theo, chúng ta sẽ tiếp tục tìm hiểu các dạng bài tập khác về phân thức đại số và cách giải chúng. Hãy tiếp tục theo dõi nhé!

Đọc thêm