Mô đun số phức: Phương pháp giải và bài tập vận dụng

1. Định nghĩa về mô đun số phức

Mô đun (tiếng Anh: modulus hoặc absolute) của số phức z = a+bi (a, b∈R) là căn bậc hai số học (hay căn bậc hai không âm) của a² + b². Ví dụ, z = 3 + 4i có 3² + 4²=25 nên mô đun của 3 + 4i bằng 5. Ký hiệu mô đun của z = a+bi là |z| hoặc |a + bi|. Lưu ý rằng số thực cũng là một số phức, do đó mô đun của số phức cũng có thể gọi là giá trị tuyệt đối của số phức.

Về mặt hình học, mỗi số phức z = a + bi (a,b∈R) được biểu diễn bởi một điểm M(z)=(a;b) trên mặt phẳng Oxy. Modun của z được biểu diễn bởi độ dài đoạn thẳng OM(z). Rõ ràng, modun của z là một số thực không âm và chỉ bằng 0 khi z = 0.

2. Tính chất modun của số phức

Với mô đun của số phức, ta có các tính chất sau:

(i) Hai số phức đối nhau có cùng mô đun: |z|=|-z|.
(ii) Hai số phức liên hợp có cùng mô đun: |a+bi|=|a-bi|.
(iii) Mô đun của z bằng 0 khi và chỉ khi z=0.
(iv) Tích của hai số phức liên hợp bằng bình phương mô đun của chúng.
(v) Mô đun của một tích bằng tích các mô đun.
(vi) Mô đun của một thương bằng thương các mô đun.

3. Bất đẳng thức mô đun

Do mô đun của số phức là độ dài đoạn thẳng trên mặt phẳng, từ các bất đẳng thức tam giác, ta có các bất đẳng thức mô đun tương tự.

4. Phương pháp giải bài tập

Để giải bài tập về mô đun số phức, cần nhớ những kiến thức sau:

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm các số phức z thỏa mãn

A. z1 = -1 + i; z2 = 1 – i
B. z1 = 1 + i; z2 = -1 – i
C. z1 = -1 + i ; z2 = -1 – i
D. z1 = 1 + i; z2 = 1 – i

Lời giải:

Mô đun số phức

4(x2 + y2 ) = 8 → x2 + y2 = 2
Do đó x = 1 và y = ±1
Chọn D.

Ví dụ 2: Cho số phức z = 2 – 3i. Tính |z|

A. |z| = 2.
B. |z| = -3.
C. |z| = √13.
D. |z| = 13 .

Lời giải:

Chọn C

6. Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1: Cho hai số phức z1 = 1 + 3i ; z2 = 2 – i. Tính P = |z1 + z2|

A. P = √5 .
B. P = 5
C. P = √10
D. P = √13

Lời giải:

Chọn D.

Bài 2: Cho hai số phức z1 = 1 – 2i; z2 = 3 + i. Tính P = |z1 – 2z2|.

A. P = √26.
B. P = √41.
C. P = √29.
D. P = √33.

Lời giải:

Ta có: 2z2 = 6 + 2i
Chọn B.

Bài 3: Cho số phức z = (3-2i)(1+i)2. Mô đun của w = iz + là

A. 2
B. 2√2
C. 1
D. √2

Lời giải:

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Mô đun của số phức w = 1 + 2z + z2 có giá trị là

A. 10.
B. -10.
C. 100.
D. -100.

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Bài 5: Cho số phức z = 5 – 3i. Tính |z|.

A. |z| = 34
B.|z| = 2
C. |z| = √34
D. |z| = 4

Lời giải:

Chọn C.

Bài 6: Cho số phức z = 1 + 2i. Tính |z|.

A. |z| = 1.
B. |z| = √5.
C. |z| = 2.
D. |z| = 3.

Lời giải:

Ta có
Chọn B.

Bài 7: Cho số phức z = -3 + 2i. Tính |z + 1 – i|.

A. P = 4
B. P = 1
C. P = √5
D. P = 2√2

Lời giải:

Chọn C.

Bài 8: Cho hai số phức z1 = 3 – 2i; z2 = -2 + i. Tính P = |z1 + z2|.

A. P = √5.
B. P = √2.
C. P = √13
D. P = 2

Lời giải:

Ta có: z1 + z2 = (3 – 2i) + (-2 + i) = 1 – i
|z1 + z2| = |1 – i| = √2
Chọn B.

Bài 9: Cho hai số phức z1 = 2 + 6i; z2 = -1 + 2i. Tính P = |z1 – z2|.

A. P = 5
B. P = 6
C. P = 7
D. P = 8

Lời giải:

Ta có: z1 – z2 = (2 + 6i) – (-1 + 2i) = 3 + 4i
Chọn A

Bài 10: Cho hai số phức z1 = 3 + i; z2 = 2 – i. Tính P = |z1 + z1z2|.

A. P = 10
B. P = 50
C. P = 5
D. P = 85

Lời giải:

Ta có
z1z2 = (3 + i)(2 – i) = 6 – 3i + 2i – i2 = 7 – i ,
z1 + z1z2 = 3 + i + 7 – i = 10.
Chọn A.

30 bài tập về Cách tìm môđun của số phức cực hay, chi tiết 2024 - Bí Kíp Điểm 10

30 bài tập về Cách tìm môđun của số phức cực hay, chi tiết 2024

Mô đun số phức: Phương pháp giải và bài tập vận dụng

1. Định nghĩa về mô đun số phức

Mô đun (tiếng Anh: modulus hoặc absolute) của số phức z = a+bi (a, b∈R) là căn bậc hai số học (hay căn bậc hai không âm) của a² + b². Ví dụ, z = 3 + 4i có 3² + 4²=25 nên mô đun của 3 + 4i bằng 5. Ký hiệu mô đun của z = a+bi là |z| hoặc |a + bi|. Lưu ý rằng số thực cũng là một số phức, do đó mô đun của số phức cũng có thể gọi là giá trị tuyệt đối của số phức.

Về mặt hình học, mỗi số phức z = a + bi (a,b∈R) được biểu diễn bởi một điểm M(z)=(a;b) trên mặt phẳng Oxy. Modun của z được biểu diễn bởi độ dài đoạn thẳng OM(z). Rõ ràng, modun của z là một số thực không âm và chỉ bằng 0 khi z = 0.

2. Tính chất modun của số phức

Với mô đun của số phức, ta có các tính chất sau:

(i) Hai số phức đối nhau có cùng mô đun: |z|=|-z|.
(ii) Hai số phức liên hợp có cùng mô đun: |a+bi|=|a-bi|.
(iii) Mô đun của z bằng 0 khi và chỉ khi z=0.
(iv) Tích của hai số phức liên hợp bằng bình phương mô đun của chúng.
(v) Mô đun của một tích bằng tích các mô đun.
(vi) Mô đun của một thương bằng thương các mô đun.

3. Bất đẳng thức mô đun

Do mô đun của số phức là độ dài đoạn thẳng trên mặt phẳng, từ các bất đẳng thức tam giác, ta có các bất đẳng thức mô đun tương tự.

  • Tổng hai cạnh trong một tam giác luôn lớn hơn cạnh thứ ba.
  • Hiệu hai cạnh trong một tam giác luôn nhỏ hơn cạnh thứ ba.

4. Phương pháp giải bài tập

Để giải bài tập về mô đun số phức, cần nhớ những kiến thức sau:

  • Mô đun của số phức được gọi là |z|.
  • Kết quả: ∀z ∈ C ta có:

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm các số phức z thỏa mãn

A. z1 = -1 + i; z2 = 1 – i
B. z1 = 1 + i; z2 = -1 – i
C. z1 = -1 + i ; z2 = -1 – i
D. z1 = 1 + i; z2 = 1 – i

Lời giải:

Mô đun số phức

4(x2 + y2 ) = 8 → x2 + y2 = 2
Do đó x = 1 và y = ±1
Chọn D.

Ví dụ 2: Cho số phức z = 2 – 3i. Tính |z|

A. |z| = 2.
B. |z| = -3.
C. |z| = √13.
D. |z| = 13 .

Lời giải:

Chọn C

6. Bài tập vận dụng (có đáp án)

Bài 1: Cho hai số phức z1 = 1 + 3i ; z2 = 2 – i. Tính P = |z1 + z2|

A. P = √5 .
B. P = 5
C. P = √10
D. P = √13

Lời giải:

Chọn D.

Bài 2: Cho hai số phức z1 = 1 – 2i; z2 = 3 + i. Tính P = |z1 – 2z2|.

A. P = √26.
B. P = √41.
C. P = √29.
D. P = √33.

Lời giải:

Ta có: 2z2 = 6 + 2i
Chọn B.

Bài 3: Cho số phức z = (3-2i)(1+i)2. Mô đun của w = iz + là

A. 2
B. 2√2
C. 1
D. √2

Lời giải:

Chọn đáp án B.

Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Mô đun của số phức w = 1 + 2z + z2 có giá trị là

A. 10.
B. -10.
C. 100.
D. -100.

Lời giải:

Chọn đáp án A.

Bài 5: Cho số phức z = 5 – 3i. Tính |z|.

A. |z| = 34
B.|z| = 2
C. |z| = √34
D. |z| = 4

Lời giải:

Chọn C.

Bài 6: Cho số phức z = 1 + 2i. Tính |z|.

A. |z| = 1.
B. |z| = √5.
C. |z| = 2.
D. |z| = 3.

Lời giải:

Ta có
Chọn B.

Bài 7: Cho số phức z = -3 + 2i. Tính |z + 1 – i|.

A. P = 4
B. P = 1
C. P = √5
D. P = 2√2

Lời giải:

Chọn C.

Bài 8: Cho hai số phức z1 = 3 – 2i; z2 = -2 + i. Tính P = |z1 + z2|.

A. P = √5.
B. P = √2.
C. P = √13
D. P = 2

Lời giải:

Ta có: z1 + z2 = (3 – 2i) + (-2 + i) = 1 – i
|z1 + z2| = |1 – i| = √2
Chọn B.

Bài 9: Cho hai số phức z1 = 2 + 6i; z2 = -1 + 2i. Tính P = |z1 – z2|.

A. P = 5
B. P = 6
C. P = 7
D. P = 8

Lời giải:

Ta có: z1 – z2 = (2 + 6i) – (-1 + 2i) = 3 + 4i
Chọn A

Bài 10: Cho hai số phức z1 = 3 + i; z2 = 2 – i. Tính P = |z1 + z1z2|.

A. P = 10
B. P = 50
C. P = 5
D. P = 85

Lời giải:

Ta có
z1z2 = (3 + i)(2 – i) = 6 – 3i + 2i – i2 = 7 – i ,
z1 + z1z2 = 3 + i + 7 – i = 10.
Chọn A.