Hàm bậc ba là một khái niệm quen thuộc trong toán học và lớp học chúng ta. Tuy nhiên, không phải ai cũng biết cách tìm cực trị của hàm bậc ba một cách hiệu quả. Vậy, hãy cùng tìm hiểu bí quyết giúp chúng ta tìm cực trị của hàm bậc ba nhé!

Phương pháp giải

Quy tắc 1

Quy tắc 2

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tọa độ điểm cực đại của hàm số y = x3 – 3×2 + 4 là:

A. (2;4).
B. (2;0).
C. (0;-4).
D. (0;4).

Lời giải: Chọn D

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Ví dụ 2: Giá trị cực tiểu của hàm số y = x3 – 3×2 – 9x + 2 là:

A. -20.
B. 7.
C. -25.
D. 3.

Lời giải: Chọn C

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba
Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Vậy giá trị cực tiểu là yCT = -25.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 – 3×2 + 1(C). Đường thẳng d đi qua điểm A(-1;1) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) có phương trình là:

A. y = -x.
B. y = 2x + 3.
C. x – 4y + 5 = 0.
D. x – 2y + 3 = 0.

Lời giải: Chọn D.

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Bài tập trắc nghiệm (có đáp án)

Bài 1: Điểm cực tiểu của hàm số: y = -x3 + 3x + 4 là:

A. x = -1.
B. x = 1.
C. x = -3.
D. x = 3.

Lời giải: Chọn A.

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Bài 2: Cho hàm số y = 2×3 – 3×2 – 4. Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số bằng:

A. 0.
B. -12.
C. 20.
D. 12.

Lời giải: Chọn C.

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Bài 3: Giá trị cực đại của hàm số y = x3 – 3x + 2 bằng:

A. 0.
B. 1.
C. 4.
D. -1.

Lời giải: Chọn C.

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cực đại của hàm số bằng 4.

Bài 4: Cho hàm số. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Lời giải: Chọn A.

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Bài 5: Tìm điểm cực tiểu của hàm

A. x = -3.
B. x = 3.
C. x = -1.
D. x = 1.

Lời giải: Chọn B.

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Bài 6: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, (a ≠ 0) có đồ thị như hình bên dưới.

Hàm số có giá trị cực đại bằng?

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. -1.

Lời giải: Chọn C.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒ hàm số có giá trị cực đại bằng y(1) = 3.

Bài 7: Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng -2 và giá trị cực đại bằng 2.
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng -2.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và đạt cực tiểu tại x = 2.
D. Hàm số có đúng một cực trị.

Lời giải: Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị cực tiểu bằng -2 và giá trị cực đại bằng 2.

Bài 8: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, (a ≠ 0) có bảng biến thiên như hình dưới:

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 3.
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4.
D. Hàm số đạt cực đại tại x = -2.

Lời giải: Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Bài 9: Biết đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có 2 điểm cực trị là (-1;18) và (3;-16). Tính a + b + c + d.

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Lời giải: Chọn B.

TXĐ: D = R

Ta có y = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ y’ = 3ax2 + 2bx + c = 0 có 2 nghiệm:

Mà 2 điểm cực trị là(-1;18) và (3;-16) thuộc đồ thị hàm số nên ta có:
  -a + b – c + d = 18(3)
  27a + 9b + 3c + d = -16(4).

Giải hệ 4 phương trình(1),(2),(3),(4) ta có:

Bài 10: Cho hàm số y = -x3 + 3×2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x = 2?

A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 0.

Lời giải: Chọn D.

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x = 2 thì .

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa yêu cầu bài toán.

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

20 bài tập Cách tìm cực trị của hàm bậc ba (cực hay, có lời giải 2024) - Bí Kíp Điểm 10

20 bài tập Cách tìm cực trị của hàm bậc ba (cực hay, có lời giải 2024)

Hàm bậc ba là một khái niệm quen thuộc trong toán học và lớp học chúng ta. Tuy nhiên, không phải ai cũng biết cách tìm cực trị của hàm bậc ba một cách hiệu quả. Vậy, hãy cùng tìm hiểu bí quyết giúp chúng ta tìm cực trị của hàm bậc ba nhé!

Phương pháp giải

Quy tắc 1

  • Bước 1: Tìm tập xác định.
  • Bước 2: Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
  • Bước 3: Lập bảng biến thiên.
  • Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2

  • Bước 1: Tìm tập xác định.
  • Bước 2: Tính f'(x) và f”(x).
  • Bước 3: Tìm các nghiệm xi (i = 1,2,3…) của phương trình f'(x) = 0.
  • Bước 4: Với mỗi xi tính f”(xi):
    +) Nếu f”(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi.
    +) Nếu f”(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tọa độ điểm cực đại của hàm số y = x3 – 3×2 + 4 là:

A. (2;4).
B. (2;0).
C. (0;-4).
D. (0;4).

Lời giải: Chọn D

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Ví dụ 2: Giá trị cực tiểu của hàm số y = x3 – 3×2 – 9x + 2 là:

A. -20.
B. 7.
C. -25.
D. 3.

Lời giải: Chọn C

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba
Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Vậy giá trị cực tiểu là yCT = -25.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 – 3×2 + 1(C). Đường thẳng d đi qua điểm A(-1;1) và vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) có phương trình là:

A. y = -x.
B. y = 2x + 3.
C. x – 4y + 5 = 0.
D. x – 2y + 3 = 0.

Lời giải: Chọn D.

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Bài tập trắc nghiệm (có đáp án)

Bài 1: Điểm cực tiểu của hàm số: y = -x3 + 3x + 4 là:

A. x = -1.
B. x = 1.
C. x = -3.
D. x = 3.

Lời giải: Chọn A.

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Bài 2: Cho hàm số y = 2×3 – 3×2 – 4. Tích các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số bằng:

A. 0.
B. -12.
C. 20.
D. 12.

Lời giải: Chọn C.

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Bài 3: Giá trị cực đại của hàm số y = x3 – 3x + 2 bằng:

A. 0.
B. 1.
C. 4.
D. -1.

Lời giải: Chọn C.

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị cực đại của hàm số bằng 4.

Bài 4: Cho hàm số. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Lời giải: Chọn A.

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Bài 5: Tìm điểm cực tiểu của hàm

A. x = -3.
B. x = 3.
C. x = -1.
D. x = 1.

Lời giải: Chọn B.

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Bài 6: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, (a ≠ 0) có đồ thị như hình bên dưới.

Hàm số có giá trị cực đại bằng?

A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. -1.

Lời giải: Chọn C.

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 ⇒ hàm số có giá trị cực đại bằng y(1) = 3.

Bài 7: Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng -2 và giá trị cực đại bằng 2.
B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng -2.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = -1 và đạt cực tiểu tại x = 2.
D. Hàm số có đúng một cực trị.

Lời giải: Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có giá trị cực tiểu bằng -2 và giá trị cực đại bằng 2.

Bài 8: Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, (a ≠ 0) có bảng biến thiên như hình dưới:

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = 3.
B. Hàm số đạt cực đại tại x = 1.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4.
D. Hàm số đạt cực đại tại x = -2.

Lời giải: Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Bài 9: Biết đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có 2 điểm cực trị là (-1;18) và (3;-16). Tính a + b + c + d.

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

Lời giải: Chọn B.

TXĐ: D = R

Ta có y = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ y’ = 3ax2 + 2bx + c = 0 có 2 nghiệm:

Mà 2 điểm cực trị là(-1;18) và (3;-16) thuộc đồ thị hàm số nên ta có:
  -a + b – c + d = 18(3)
  27a + 9b + 3c + d = -16(4).

Giải hệ 4 phương trình(1),(2),(3),(4) ta có:

Bài 10: Cho hàm số y = -x3 + 3×2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x = 2?

A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 0.

Lời giải: Chọn D.

Cách tìm cực trị của hàm bậc ba

Để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm bên trái đường thẳng x = 2 thì .

Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa yêu cầu bài toán.

Xem thêm các dạng bài tập liên quan khác:

  • 60 Bài tập về Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (có đáp án năm 2023)
  • 60 Bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số (có đáp án năm 2023)
  • 60 Bài tập về Hàm số lũy thừa (có đáp án năm 2023)
  • 60 Bài tập về Lôgarit (có đáp án năm 2023)
  • 60 Bài tập về Phương trình mũ và phương trình logarit (có đáp án năm 2024)